线性代数·矩阵总结

​ 行列式部分知识点总结

线性代数·矩阵

常用的特殊矩阵

三角矩阵

主对角线以下或以上的元素全为0的方阵

n阶对角矩阵

主对角线以外的元素全为0的n阶方阵

n阶单位矩阵

主对角线上元素全为1的n阶对角矩阵，用大写字母E表示

零矩阵

元素全为0的矩阵，用大写字母O表示

行阶梯矩阵

矩阵的零行都位于非零行的下方，每一个非零行的主元素所在的列以下的元素皆为0，并且每个主元素所在的列位于前一行主元素所在列的右侧。形如：

$$\begin{pmatrix}1&6&7&9\\0&0&2&6\\0&0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&2&3&4\\0&0&5&6\\0&0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&0&5&0\\0&0&0&9\end{pmatrix}$$

行最简形矩阵

每个非零行的主元素都是1，并且1所在的列的其余元素均为0，如：

$$\begin{pmatrix}1&0&0&4\\0&0&1&6\\0&0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&0&4\\0&0&1&6\\0&0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0&4\\0&1&0&6\\0&0&1&2\end{pmatrix}$$

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矩阵运算法则

加法和减法

两个矩阵对应位置上的元素相加减，因此只有同类型的矩阵才能相加减

具有如下定律：

（1）A+B=B+A

（2）(A+B)+C=A+(B+C)

（3）A+O=A，其中O是m×n阶零矩阵

（4）A+(-A)=O

因此矩阵减法有：A-B=A+(-B)

数乘

设$\lambda$、$\mu$为任意实数，有：

（1）1A=A

（2）($\lambda$+$\mu$)A=$\lambda$A+$\mu$A

（3）$\lambda$(A+B)=$\lambda$A+$\lambda$B

（4）($\lambda\mu$)A=$\lambda$($\mu$A)=$\mu$($\lambda$A)

矩阵乘法

矩阵A与B的乘积结果为新的矩阵，其(i,j)元等于A的第i行和B的第j列的元素对应乘积之和，

左边矩阵的列数=右边矩阵的行数，结果矩阵拥有左边的行数与右边的列数

具有以下特点：

（1）$(AB)C=A(BC)$

（2）$A(B+C)=AB+AC$,$(B+C)A=BA+CA$

（3）$\lambda(AB)$=$(\lambda A)B$=$A(\lambda B)$

（4）只有当$AB=BA$时，$(AB)^k=A^kB^k$

矩阵转置

将矩阵$A$的行列互换，记作$A^T$，具有如下定律：

（1）($A^T$)$^T$=$A$

（2）$(A+B)^T=A^T+B^T$

（3）$(\lambda A)^T=\lambda A^T$

（4）$(AB)^T=B^TA^T$

如果$A^T$=$A$，则称$A$为对称矩阵；如果$A$=$-A^T$，则称$A$为反对称矩阵

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可逆矩阵

伴随矩阵

设$A=(a_{ij})$是n(n$\geq$2)阶方阵，$A_{ij}$为行列式$|A|$中元素$a_{ij}$的代数余子式，称n阶矩阵

$$\begin{pmatrix}A_{11}&{A_{21}}&{\cdots}&{A_{n1}}\\{A_{12}}&{A_{22}}&{\cdots}&{A_{n2}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{A_{1n}}&{A_{2n}}&{\cdots}&{A_{nn}}\\\end{pmatrix}$$为方阵**A**的伴随矩阵，记为$$A^*$$ 。 且有$$AA^*$$=$$A^*A$$ =$$|A|E$$ 。 ### 可逆矩阵的判定条件 $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$$，如果$$|A|\not=0$$，则$$A$$可逆。 ### 可逆矩阵的性质 （1）$$(A^{-1})^{-1}=A$$

（2）$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

（3）$(\lambda A^{-1})=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$，其中$\lambda \not=0$

（4）$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

（5）如果$A$可逆，则$|A|\not=0$，且$|A^{-1}|=|A|^{-1}$

（6）如果$A$可逆，且$AB=AC$，则$B=C$

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克拉默法则

对于线性方程组$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b2\\\cdots\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=bn\end{cases}$而言,若其系数行列式$D=\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\\end{array}\right|\not=0$,则该方程组有唯一解:$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots,x_n=\frac{D_n}{D}$.

其中$D_i$为将D的第i列替换为$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}$所形成的新行列式.

拓展

推论1: 若齐次方程组$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\\cdots\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{cases}$的系数行列式不为0,则方程组有唯一的0解:

$$x_1=0,x_2=0,\cdots,x_n=0$$

推论2: 若上述其次方程组有非零解,则它的系数行列式一定为0.