行列式部分知识点总结

线性代数·行列式

行列式的定义

2阶行列式

对于线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b2\end{cases}$ 而言，称 $a_{11}a_{12}-a_{21}a_{22}$ 为二阶方阵 $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ 的行列式，记作 $\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{12}-a_{21}a_{22}$ ，即主对角线上的乘积减去右对角线上的乘积，即对角线法则。

3阶行列式

类似2阶行列式，对于线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b3\end{cases}$ 而言，称 $a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$ 为3阶方阵 $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ 的行列式，记作 $\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|$

3阶行列式同样具有对角线法则。

n阶行列式

形如 $\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\\end{array}\right|$ 的行列式，不具备对角线法则，但是可以通过行列式展开公式分解成若干个3阶行列式来计算。

行列式的性质

余子式和代数余子式

在n阶行列式det( $a_{ij}$ )中，将元素 $a_{ij}$ (i,j=1,2, $\cdots$ ,n)所在的第i行和第j列划去，余下的元素按照次序不变，构成新的n-1阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ ；称 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

n阶行列式det( $a_{ij}$ )等于其任意一行（或列）元素与其对应的代数余子式乘积之和.,这就是行列式的展开法则.

性质归纳

1.行列式与它的转置行列式相等,”行”与”列”具有相同的地位.

2.如果交换n(n $\geq$ 2)阶行列式的某两行或某两列,则行列式的值变号.

推论2.1 如果行列式的某两行(或两列)的元素完全相同,则行列式值为0

3.如果行列式的某一行(或一列)具有公因子,则可以把公因子提到外面.

推论3.1 如果A是n阶矩阵,则 $\left |\lambda A\right|=\lambda^{n}\left|A\right|$

推论3.2 如果行列式的某两行(或两列)的元素对应成比例,则行列式的值为0

4.可以将行列式分解为两个行列式的和

$\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots& &\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\\vdots&\vdots& &\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots& &\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots& &\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots& &\vdots\\b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\\vdots&\vdots& &\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right|$

5.如果行列式的某一行(或某一列)的所有元素乘同一数,然后加到另一行(或列)的对应元素上,则行列式的值不变.

6. 某一行所有元素与另外一行所有元素的代数余子式乘积之和为0.

逆序数的使用

逆序数的定义

设有一串数据排列( $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ ),对于其中一个元素而言,记录其之后所有比它小的元素的个数为x,将所有元素的x值加起来就是该排列的逆序数.

若逆序数为偶数,该排列为偶排列;反之则为奇排列.

在行列式中的使用

对于n阶行列式而言,其多项式共有 $n^2$ 个不同项 $a_{i1j1}a_{i2j2}a_{i3j3}a_{i4j4}$ ,取其排列(j1,j2,j3,j4)的逆序数k,则此项 $a_{i1j1}a_{i2j2}a_{i3j3}a_{i4j4}$ 前面的符号为 $(-1)^k$ .

拉普拉斯公式

特殊的行列式

三角行列式

正三角行列式:以正对角线为界,其中一块区域全为0的行列式,其值为正对角线元素的乘积

负三角行列式:以负对角线为界,其中一块区域全为0,其值为负对角线元素的乘积乘以 $(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ .

方阵行列式

1. 设A=( $a_{ij}$ ),B=( $b_{ij}$ ),C=( $c_{ij}$ )分别是n阶,m阶和n*m阶矩阵,则有:

$\left|\begin{array}{cccc}A&O\\C&B\end{array}\right|=\left|A\right|\left|B\right|$$ 和 $$\left|\begin{array}{cccc}A&C\\O&B\end{array}\right|=\left|A\right|\left|B\right|$ $\left|\begin{array}{cccc}O&A\\B&C\end{array}\right|=(-1)^{mn}\left|A\right|\left|B\right|$$ 和 $$\left|\begin{array}{cccc}C&A\\B&O\end{array}\right|=(-1)^{mn}\left|A\right|\left|B\right|$

2. 如果分块对角矩阵A= $\begin{pmatrix}A_1&O&\cdots&O\\O&A_2&\cdots&O\\\vdots&\vdots\ &&\vdots\\O&O&\cdots&A_n\end{pmatrix}$ ,其中 $A_i(i=1,2,\cdots,s)$ 都是方阵,则有:

$\left|\begin{array}{cccc}A_1&O&\cdots&O\\O&A_2&\cdots&O\\\vdots&\vdots\ &&\vdots\\O&O&\cdots&A_n\end{array}\right|=\left|A_1\right|\left|A_2\right|\cdots\left|A_n\right|$$; **3.** 如果A,B都是n阶方阵,则$$\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$

范德蒙德公式

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^{2}&x_2^{2}&\cdots&x_n^{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\\end{array}\right|=\prod_{1\leq j\leq i\leq n}(x_i-x_j)$

克拉默法则

内容

对于线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b2\\\cdots\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=bn\end{cases}$ 而言,若其系数行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\\end{array}\right|\not=0$ ,则该方程组有唯一解: $x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots,x_n=\frac{D_n}{D}$ .

其中 $D_i$ 为将D的第i列替换为 $\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}$ 所形成的新行列式.

拓展

推论1: 若齐次方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\\cdots\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{cases}$ 的系数行列式不为0,则方程组有唯一的0解:

$x_1=0,x_2=0,\cdots,x_n=0$

推论2: 若上述其次方程组有非零解,则它的系数行列式一定为0.